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03-算法素颜(第03篇):KO!大O——时间复杂度

引言

在本系列第1篇《走下神坛吧!算法》中提到了:计算复杂度分为时间复杂度与空间复杂度。本篇文章来讲讲时间复杂度。

如何度量时间复杂度

时间复杂度由所消耗的时间决定。所消耗的时间由硬件与软件共同决定。在同一硬件条件下,所消耗的时间由软件决定。

通常意义上的算法指的是软件算法,所以在谈论时间复杂度时,聚焦软件的时间开销。

软件的时间开销 = 软件各组成部分的时间开销之和。

软件最基本的组成部分是语句(或者微观意义下的指令)。

注:因为在同一硬件条件、特定的编程语言环境下,基本语句由多少条指令构成、运行的模式都是固定的,所以直接以语句作为基本考察单位即可。

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整体等于各部分之和

对大部分编程语言而言,基本语句无外乎以下两种:

1. 读写语句

2. 比较语句

注:条件语句(if-else)、循环语句(while/for)在这里都不算基本语句,而被看作复合语句。

原因如下:

对于条件语句,一般形式如下:

// 相当于先运行比较语句
// (xxx<->true),
// 再根据比较结果运行aaaif (xxx) { aaa;} 
// 相当于先运行比较语句// (xxx<->true),
// 再根据比较结果运行bbbelse if (yyy) { bbb; }

对于循环语句,一般形式如下:

(为简单起见,这里只做while的示例,其他循环类型依此来推)

// 相当于先运行比较语句(xxx<->true),// 再根据比较结果运行aaa// 然后运行比较语句(xxx<->true),// 判断是否出循环体 while (xxx) { aaa; }

将基本语句的时间开销看作“单位1”,那么整个程序的时间开销就是所有这些“单位1”之和。

推论3.1:

假设程序结构L由n个子结构Li组成,即:

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那么运行L的整体时间开销T(L)为:

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T(L) = f(n)

来看几个例子:

// 赋值语句、基本语句,// 时间开销=1 int i = 10; // 比较语句、基本语句,// 时间开销=1a > b; // 条件语句、复合语句// 包含一条比较语句和一条赋值语句// 时间开销=1+1=2if (a > b) { c= 9; }

再来看一个复杂一点的:

int buf_size = input_array.size;
for (i = 1; i < buf_size; i++) { 
p = q + 1; if (p > i) 
{ break; }
}

整个程序结构L由一条赋值语句(记为J)和一个循环体(记为K)组成,

则:L = J + K (式3.1)

循环体K由一条赋值语句X和一个条件语句Y组成,循环次数n在最坏情况下等于buf_size。所以在最坏情况下:

K = n(X + Y) (式3.2)

代入式3.1,得到:L = J + n(X+Y) (式3.3)

根据推论3.1,从式3.3可得到:

T(L) = T(J) + T(n(X + Y)) = T(J) + nT(X + Y) = T(J) + n(T(X) + T(Y)) (式3.4)

因为J, X为赋值语句,属于基本语句,所以T(J) = T (X) = 1

因为Y为简单条件语句,T(Y) = 2

如果buf_size = 10,那么n = 10

T(J), T(X), T(Y), n代入式(3.4)得到:T(L) = 1 + 10 x (1+2) = 31

从上面的例子可以看出:

(i) n不同,T(L)的值就不同;

(ii)n越大,T(L)的值也越大;

(iii) n等于buf_size,后者是由输入input_array的规模决定的

所以,可以看出:T(L)与输入规模相关。用数学的语言来描述就是:整体时间开销是一个关于输入规模因子的函数。

用数学表达式表示就是:T(L) = f(n)

T= f(n)的现实意义是什么

f(n)既然是个函数,那么由高中数学知识可知,f(n)的形式有很多种,如:

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不同形式的f(n),在n增加的时候,T增加的速度不同。

每一种f,对应一种算法,所以:

推论3.2:

T表示在同等输入规模(即n一定)的情况下,不同算法的时间开销。

T的增加速度越快,对应算法的时间开销越大,也就表示该算法越复杂。

“两种算法的复杂度在一个量级”到底是个什么鬼

考虑考虑 T1=2n和 T2=n

很显然,在n固定的情况下, T1/T2=2 。即:同等输入规模下,第一种算法的时间开销是第二种算法时间开销的2倍。

这种复杂度关系总是常数倍的,即使n取无穷大也是。用数学语言表示就是:

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从而,我们得到一个关键结论:

推论3.3:

两种算法的复杂度在同一量级等价于

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其中C是常数

聪明的你肯定会问到:如果n趋向无穷大的时候,T1/T2不是常数呢?

如果不是常数,那么通常是一个关于n的表达式,随着n的增加,值也增加。这表示T1/T2也将趋向无穷大。用数学术语表达就是“发散”。

我们称这种况下,两种算法不在同一复杂度量级。

推论3.4:

算法1比算法2的复杂度量级高等价于

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大O登场

通常比较算法复杂度,只用比较量级即可。量级用O()表示。

O()定义:

(i) 如果算法T1与算法T2的复杂度在同一量级,那么O(T1) = O(T2)

(ii) 如果算法T1比算法T2的复杂度量级高,那么O(T1) > O(T2)

(iii) 如果算法T1比算法T2的复杂度量级低,那么O(T1) &lt; O(T2)

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比较T1与T2的复杂度量级:

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根据推论3.3得到:T1T2处于同一复杂度量级。

根据上述O()的定义:O(T1) = O(T2)

这里其实蕴含了一个非常实用的结论:

推论3.5:

算法复杂度的大O表示可以简化为该算法最高阶部分的复杂度的大O表示。

根据高等数学知识,我们可以得到:

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总结

大O表示法最早由德国数论学家保罗·巴赫曼(英语:Paul Bachmann)在其1892年的著作《解析数论》(Analytische Zahlentheorie)首先引入的。

而这个记号则是在另一位德国数论学家艾德蒙·朗道(英语:Edmund Landau)的著作中才推广的,因此它有时又称为朗道符号(Landau symbols)。

大部分的算法或者复杂度理论的书籍,在介绍大O时,要么过于数学形式化,要么过于感性非严格化。

本篇文章旨在用最少的数学知识、启发式行文方式、全新的原创视角,为读者构建一个清晰、严格的时间复杂度概念。

相信看到这里,以后再面对时间复杂度和大O,你一定信心满满了:)

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