引言

《菜鸟也能“种”好二叉树！》一文中提到了：为了方便查找，需要进行分层分类整理。而满足这种目标的数据结构之一就是树。

树的叶子节点可以看作是最终要搜寻的目标物；叶子节点以上的每一层，都可以看作是一个大类别、层中的每个节点都可以看作是一个小类别。

从上图可以看出，要定位目标物，就需要从最上面的大类依次向下定位目标物所属的小类。

定位的效率（时间复杂度）取决于两个因素：

1. 非叶子节点的分岔数：分岔数越多，表示大类包含的小类数目也就越多，那么为了定位到底属于哪个小类，比较次数也就越多，从而时间开销也就越大。

2. 树的高度（或称为深度）：树越深（高），从根节点（最大类）到叶子节点（目标物）的路径也就越长，也就意味着时间开销越大。

研究问题都讲究由简到繁，那就让我们先来看看最简单的情形——分岔数最小的情形——二叉树。

二叉树的每层节点只有两个节点，这表示只有两个小类。定位属于哪个小类时，需要做比较。比较的次数越少、比较的方法越简单，效率也就越高。

比较次数再怎么少也得1次、最简单的比较方法就是比大小。为了满足这个目标，前辈们就对一般二叉树加了如下规则：

每个非叶子节点的左孩子的值不大于该节点本身的值；右孩子的值不小于该节点本身的值。

这样的二叉树就称为“二分查找树”。

二分查找树的数学思想

将二分查找树从根节点（最大类）到叶子节点（目标物）的路径扒出来，垂直放置之后就如下图左部所示。再倒”下来水平放置之后，就如下图右部所示。

由此可以看出，从最大类到目标物的查找过程，其实就是从大类不断逼近目标物的过程。

这个思想的本质其实就是数学的“逼近法”——不断缩小范围、直至不可再小，最终剩下的即为所求。

“逼近法”思想大量在数学中应用。牛顿当年发明微积分，其证明过程其实采用的也是“逼近法”。具体可以参见牛顿的旷世巨著《自然哲学的数学原理》第一编《物体的运动》的第1章《初量与终量的比值方法》的引理2。

牛顿

《自然哲学的数学原理》

二分查找法

基于二分查找树数据结构的搜索算法称为“二分查找法”。

二分查找树是一个递归定义，所以很容易得出递归版的二分查找法。

下面以链表形式存储的二分查找树为例，数组形式存储的，可以根据父子节点下标的线性关系（《菜鸟也能“种”好二叉树！》一文中的推论5.2.1），类似推导，在此就不赘述了。

还是根据《史上最猛之递归屠龙奥义》一文中的老套路，转换成非递归版本：

整个算法的时间开销主要由do-while循环体的循环次数决定。很显然，在最坏情况下，循环次数等于二叉查找树的高度。假设树的节点总数为N，则根据《菜鸟也能“种”好二叉树！》一文中的结论，高度等于logN，从而时间复杂度等于O(logN)。

二分查找树的节点插入算法

向二分查找树插入新节点很简单，从根节点开始，根据定义逐层比较、进入对应子树下沉、直至叶子节点：

对应的递归版算法代码如下：

还是根据《史上最猛之递归屠龙奥义》一文中的老套路，转换成非递归版本：

可以看出，整个算法结构与二分查找树的搜索算法类似，时间复杂度也是O(logN)。

二分查找树的节点删除算法

直接删除节点，会破坏二叉树的结构，需要进行调整。

首先需要有节点补上被删节点的空缺。这个“补漏”有两个策略：

1. 直接计算出到底哪个节点最终应该到这个位置

2. 先用一个节点顶上，然后再进行下推调整

稍微想一想，就会知道第一种策略比较复杂，因为你需要在一开始就通盘考虑，复杂度很高；

第二种策略其实是一种局部性原理思想——先局部求解、再逐步递进到全局解。这种局部性原理思想在整个计算机科学中大量使用：比如虚拟内存管理、人工智能的爬山算法等等。

第二种策略其实我们在上一篇《二叉堆“功夫熊猫”的速成之路》中的“Top N”章节中也提到了。有兴趣的朋友也可以翻回去看看。

具体实操上，和“Top N”的方法一样，我们用尾节点“补漏”被删节点。

上面三张图形象描绘了整个替换、下推调整的过程。

这里啰嗦一句：因为要先得到尾节点的位置，然后再回到待删节点位置——这涉及到遍历和回溯，若采用链表存储整个二叉查找树的话，就不是很方便。所以针对节点删除场景，用数组更简单。

但为了“炫技”，笔者在这里就挑最复杂的单向链表式、非递归版算法来实现一下：）

最坏情况无外乎删除根节点——这种情况下下推的距离最长——极限情况下，要下推整个二分查找树的高度。所以这个算法的时间复杂度不超过O(logN)。

至于数组式、递归版算法，读者可以根据《史上最猛之递归屠龙奥义》和《二叉堆“功夫熊猫”的速成之路》中讲到的套路，自行推导。

做一棵“稳重的”二分查找树

上面两棵二分查找树是等价的，但是可以很明显看出：第一棵一些分支会向一边倾斜，而第二棵就显得“稳重”多了。

试想，你要搜索值为17的节点。按照前面二分查找树的搜索算法，对于第一棵树，从根节点开始，一共需要进行4次比较才能找到；而对于第二棵树，只需要进行1次比较就能找到！

为什么会有这么大的差别呢？

答案在于：第二棵树是一棵“平衡二叉树”，它的“稳重”特点实现了一个目标——平均查找长度最短。

下一篇文章我们就来“盘盘”平衡二叉树。

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